三線合一性質定理 三線合一性質

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1、三線合一，指三角形頂角角平分線，底邊上的高，以及底邊上的中線重合，即三條線段合為一條。

2、三線合一的證明：已知：△ABC為等腰三角形，AB=AC,AD為中線。

3、求證：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD等腰三角形ABC(AB=AC)證明：在△ABD和△ACD中：{ BD=DC（等腰三角形的中線平分對應的邊）AB=AC(等腰三角形的性質)AD=AD（公共邊）∴△ADB≌△ADC（SSS）可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形對應角相等）∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已證），且∠BDC=180度（平角定義）∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代換）∴AD⊥BC得證三線合一應用：① 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。

4、② 如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。

5、③ 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形。

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