二階等差數(shù)列

在數(shù)學(xué)中，二階平均數(shù)指的是一個數(shù)列的每相鄰兩項的平均數(shù)后再取平均數(shù)的數(shù)值。二階等差數(shù)列則指的是每相鄰兩項的差相同的數(shù)列。本文將探秘二階平均數(shù)和二階等差數(shù)列的公差之間的關(guān)系。

什么是二階等差數(shù)列？

二階等差數(shù)列是數(shù)列的每相鄰兩項的差相同的一個數(shù)列。即，假設(shè)有一個數(shù)列 $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其任意相鄰兩項之差為 $d_1, d_2, d_3, ..., d_{n-1}$，如果 $d_1, d_2, d_3, ..., d_{n-1}$ 也形成了一個等差數(shù)列，則原數(shù)列為二階等差數(shù)列。

舉例來說，數(shù)列 $1,4,7,10,13$ 就是一個二階等差數(shù)列，其差數(shù)列為 $3,3,3,3$。

(相關(guān)資料圖)

二階平均數(shù)的計算方式是什么？

二階平均數(shù)的計算方式是：一個數(shù)列的每相鄰兩項的平均數(shù)后再取平均數(shù)的數(shù)值。

換句話說，如果有一個數(shù)列 $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，則其二階平均數(shù)為：

$$frac{1}{n-2}sum_{i=1}^{n-2}frac{a_i+a_{i+2}}{2}$$

二階平均數(shù)與二階等差數(shù)列的公差之間的關(guān)系是什么？

對于一個二階等差數(shù)列 $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其二階平均數(shù)為：

$$frac{1}{n-2}sum_{i=1}^{n-2}frac{a_i+a_{i+2}}{2}$$

將 $a_{i+2}=a_i+2d$ 代入式子中得：

$$frac{1}{n-2}sum_{i=1}^{n-2}frac{a_i+a_i+2d}{2}=frac{1}{n-2}sum_{i=1}^{n-2}left(a_i+dright)$$

由于該數(shù)列為二階等差數(shù)列，所以相鄰兩項的差為常數(shù) $d$，且數(shù)列中一共有 $n-1$ 個差數(shù)，于是：

$$frac{1}{n-2}sum_{i=1}^{n-2}left(a_i+dright)=frac{1}{n-2}left(sum_{i=1}^{n}a_i+(n-2)dright)$$

注意到等差數(shù)列的求和公式 $S_n=frac{n}{2}(a_1+a_n)$，于是：

$$frac{1}{n-2}left(sum_{i=1}^{n}a_i+(n-2)dright)=frac{a_1+a_n}{2}$$

即，對于一個二階等差數(shù)列，其二階平均數(shù)為其首項和末項的平均數(shù)。

怎樣通過二階平均數(shù)求二階等差數(shù)列的公差？

已知二階等差數(shù)列的首項和二階平均數(shù)，就可以求出其公差。

由上一問可知，二階等差數(shù)列的二階平均數(shù)等于其首項和末項的平均數(shù)，即：

$$frac{a_1+a_n}{2}=A_2$$

而二階平均數(shù) $A_2$ 又等于相鄰兩項之和的平均數(shù)的平均數(shù)：

$$A_2=frac{1}{n-2}sum_{i=1}^{n-2}frac{a_i+a_{i+2}}{2}$$

將 $a_{i+2}=a_i+2d$ 代入式子中得：

$$A_2=frac{1}{n-2}sum_{i=1}^{n-2}frac{a_i+a_i+2d}{2}=frac{1}{n-2}sum_{i=1}^{n-2}left(a_i+dright)$$

移項得到：

$$frac{n-2}{n}cdot A_2=frac{a_1+a_{n-1}}{2}+d$$

因為 $a_{n-1}=a_1+(n-2)d$，所以：

$$frac{n-2}{n}cdot A_2=frac{a_1+a_1+(n-2)d}{2}+d$$

化簡得：

$$d=frac{2n}{n-2}(A_2-a_1)$$

二階等差數(shù)列的性質(zhì)有哪些？

二階等差數(shù)列具有以下性質(zhì)：

1.二階等差數(shù)列的首項、末項和二階平均數(shù)的平均值相等。

2.一正一負(fù)、兩個相鄰的差數(shù)之和為0。

3.一個數(shù)列是二階等差數(shù)列的充分必要條件是該數(shù)列的前三項構(gòu)成等比數(shù)列。

4.一個數(shù)列是二階等差數(shù)列的充分必要條件是該數(shù)列的相鄰三項之比相等。

二階等差數(shù)列與算數(shù)平均數(shù)的關(guān)系是什么？

一個數(shù)列的算數(shù)平均數(shù)是其所有項之和除以項數(shù)。

對于一個二階等差數(shù)列 $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其算數(shù)平均數(shù)為：

$$frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}$$

由于該數(shù)列為二階等差數(shù)列，所以相鄰三項之比相等，設(shè)其為 $k$，則：

$$frac{a_2}{a_1}=k, frac{a_3}{a_2}=k, ..., frac{a_n}{a_{n-1}}=k$$

注意到 $a_2=kcdot a_1, a_3=k^2cdot a_1, ..., a_n=k^{n-2}cdot a_1$，于是：

$$frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}=frac{a_1(k^{n-2}+k^{n-3}+...+k+1)}{n}=frac{a_1(k^{n-1}-1)}{(n-1)(k-1)}$$

將 $k$ 代入得：

$$frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}=frac{a_1(a_{n-1}+a_1)}{2(a_1+(n-2)d)}=frac{a_1+a_n}{2}$$

即，對于一個二階等差數(shù)列，其算數(shù)平均數(shù)等于其首項和末項的平均數(shù)，與二階平均數(shù)的結(jié)論相同。

二階等差數(shù)列有什么應(yīng)用？

二階等差數(shù)列可以用于描述一些變化規(guī)律，例如:

1.在等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，若差數(shù)列也構(gòu)成了一個等差數(shù)列，則該數(shù)列為二階等差數(shù)列。例如，若初始速度為 $u$，加速度為 $a$，則速度在 $t$ 時刻的值即為二階等差數(shù)列 $u, u+at, u+2at, ...$。

2.在統(tǒng)計學(xué)中，二階等差數(shù)列被用于描述時間序列數(shù)據(jù)的趨勢部分。

總之，二階平均數(shù)與二階等差數(shù)列的公差之間存在簡單的關(guān)系，這種關(guān)系可以用于求解問題。二階等差數(shù)列具有一些特殊的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)和應(yīng)用領(lǐng)域都有應(yīng)用。